19 世纪末，量子力学的提出为解释微观物质世界打开了一扇大门，彻底改变了人类对物质结构及相互作用的理解。已有实验证明，量子力学解释了许多被预言、无法直接想像的现象。
由此，人们也形成了一种既定印象，所有难以理解的问题都可以透过求解量子力学方程式来解决。
但事实上能够精确求解方程式的体系少之又少。
薛定谔方程式是量子力学的基本方程式，即便已经提出七十多年，它的氢原子求解还是很困难，超过两个电子的氢原子便很难保证精确度。
不过，多年来科学家们一直在努力克服这一难题。
最近，来自柏林自由大学（Freie Universität Berlin） 的科学团队取得了突破性进展，他们发表的一篇名为《利用深度神经网络解电子薛定谔方程式》的论文，登上《Nature Chemistry》子刊。
论文明确指出：利用人工智能求解薛定谔方程式基态解，达到了前所未有的准确度和运算效率。该人工智能即为深度神经网络（Deep-neural-network），他们将其命名为 PauliNet。
在介绍它之前，我们先来简单了解薛定谔方程式。
什么是薛定谔方程式？
薛定谔方程式（Schrödinger Equation），是量子力学中的一个基本方程式。又称薛定谔波动方程式（Schrödinger Wave Equation），它的命名来自一位名为埃尔温·薛定谔（Erwin Schrödinger）的奥地利物理学家。
（Source：Nobel foundation, Public domain, via Wikimedia Commons）
Erwin 曾在 1933 年获得诺贝尔物理学奖，是量子力学奠基人之一。他在 1926 年发表的量子波形开创性论文中，首次提出了薛定谔方程式。它是一个非相对论的波动方程式，反映了描述微观粒子的状态随时间变化的规律。
具体来说，将物质波的概念和波动方程式相结合建立二阶偏微分方程式，以描述微观粒子的运动，每个微观系统都有一个相应的薛定谔方程式，透过“解方程式”可得到波函数的具体形式以及对应的能量，从而了解微观系统的性质。
▲ Ψ 表示波函数。
薛定谔方程式在量子力学的地位，类似牛顿运动定律在经典力学的地位，在物理、化学、材料科学等多领域都有广泛应用价值。
比如，应用量子力学的基本原理和方法研究化学问题已形成“量子化学”基础学科，研究范围包括分子的结构、分子结构与性能之间的关系；分子与分子之间的相互碰撞、相互作用等。
也就是说，在量子化学，透过求解薛定谔方程式可以用来预测出分子的化学和物理性质。
波函数（Wave Function）是求解薛定谔方程式的关键，在每个空间位置和时间都定义一个物理系统，并描述系统随时间的变化，如波粒二象性。同时还能说明这些波如何受外力或影响发生改变。
以下透过氢原子求解可得到正确的波函数。
不过，波函数是高维实体，使捕获特定编码电子相互影响的频谱变得异常困难。
目前在量子化学领域，很多方法都证实无法解决这难题。如利用数学方法获得特定分子的能量，会限制预测的精确度；使用大量简单的数学构造块表示波函数，无法使用少数原子进行计算等。
在此背景下，柏林自由大学科学团队提出了一种有效的应对方案。团队成员简‧赫尔曼（Jan Hermann）称，到目前为止，离群值（Outlier）是最经济有效的密度泛函理论（Density functional theory ，一种研究多电子体系电子结构的方法）。相比之下，他们的方法可能更成功，因在可接受计算成本下提供前所未有的精确度。
PauliNet：物理属性引入 AI 神经网络
Hermann 所说的方法称为量子蒙地卡罗法。
论文显示，量子蒙地卡罗（Quantum Monte Carlo）法提供可能的解决方案：对大分子来说，可缩放和并行化，且波函数的精确性只受 Ansatz 灵活性的限制。
具体来说，团队设计一个深层神经网络表示电子波函数，这是一种全新方法。PauliNet 有当成基准内建的多参考 Hartree-Fock 解决方案，结合有效波函数的物理特性，并使用变分量子蒙地卡洛训练。
弗兰克‧诺（Frank Noé）教授解释：“不同于简单标准的数学公式求解波函数，我们设计的人工神经网络能够学习电子如何围绕原子核定位的复杂模式。”
电子波函数的独特特征是反对称性。当两个电子交换时，波函数必须改变符号。我们必须将这种特性构建到神经网络体系结构才能工作。
这类似包立不相容原理（Pauli’s Exclusion Principle），因此研究人员将该神经网络体系命名为“PauliNet”。
除了包立不相容原理，电子波函数还具有其他基本物理特性。PauliNet 成功之处不仅在于利用 AI 训练数据，还在将这些物理属性全部整合到深度神经网络。
对此，FrankNoé 还特意强调说：
“将基本物理学纳入 AI 至关重要，因为它能够做出有意义的预测，这是科学家可以为 AI 做出有实质性贡献的地方，也是我们关注的重点。”
实验结果：高精确度、高效率
PauliNet 对电子薛定谔方程式深入学习的核心方法是波函数 Ansatz，它结合了电子波函数斯莱特行列式（Slater Determinants），多行列式展开（Multi-Determinant Expansion），Jastro 因子（Jastrow Factor），回流变换（backflow transformation,），尖点条件（Cusp Conditions）以及能够编码异质分子系统中电子运动复杂特征的深层神经网络。如下图：
论文中，研究人员将 PauliNet 与 SD-VMC（singledeterminant variational，标准单行列式变分蒙地卡罗）、SD-DMC（singledeterminant diffusion，标准单行列式扩散蒙地卡罗）和 DeepWF 进行比较。
实验结果显示，在氢分子（H_2）、氢化锂（LiH）、铍（Be）以及硼（B）和线性氢链 H_10 五种基态能量的对比下，PauliNe 相较于 SD-VMC、SD-DMC 以及 DeepWF 均表现出更高的精准度。
同时论文中还表示，与专业的量子化学方法相比──处理环丁二烯过渡态能量，其准确性达到一致性的同时，也能够保持较高的计算效率。
开启“量子化学”新未来
需要说明的是，该项研究属于一项基础性研究。
也就是说，它在真正应用到工业场景之前，还有很多挑战需要克服。不过研究人员也表示，它为长久以来困扰分子和材料科学的难题提供了一种新的可能性和解决思路。
此外，求解薛定谔方程式在量子化学领域的应用非常广泛。从电脑视觉到材料科学，它将会带来人类无法想像的科学进步。虽然这项革命性创新方法离落地应用还有很长的一段路要走，但它出现并活跃在科学世界已足以令人兴奋。
如 Frank Noé 教授所说：“相信它可以极大地影响量子化学的未来。”
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